Minggu, 02 November 2014

Penggunaan Limit dalam Matlab









PENGGUNAAN LIMIT DALAM MATLAB





LAPORAN PRAKTIKUM







Oleh

Nanda Ain An Nisa’

141810301031











LABORATORIUM MATEMATIKA DASAR

JURUSAN KIMIA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS JEMBER

2014


BAB 1. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Menghitung limit bukanlah hal yang mudah, apalagi jika masih awal mengenal dan mempelajari limit. Banyak permasalahan yang dialami seseorang terutama para pelajar atu bahkan mahasiswa dalam menyelesaikan permasalahan perhitungan limit. Kebanyakan satu diantara kalangan para pelajar atau mahasiswa merasa malas mengerjakan persoalan matematika ketika mereka sudah mengerjakan dan menghitung soal matematika dalam hal ini limit kemudian mereka tau ternyata jawaban yang mereka hitung hasilnya salah dan mereka memilih untuk berhenti mengerjakan serta berharap keesokan harinya ada teman mereka yang bersedia untuk memberikan contekan kepada mereka.
Tetapi sekarang teknologi semakin canggih, banyak aplikasi-aplikasi yang dapat membantu kalangan pelajar atau mahasiswa untuk menyelesaikan perhitungan limit maupun perhitungan matematika lainnya. Aplikasi matematika salah satunya adalah MATLAB. Dalam MATLAB ini semua permasalahan akan terselesaikan dengan mudah asalkan kita tahu bagaimana cara mengoprasikan operasi matematika yang ada dalam aplikasi matlab tersebut.Begitu juga kita dapat dengan mudahnya menyelesaikan perhitungan limit yang begitu rumit menjadi sangat mudah, kuncinya hanya cukup menghafal rumus-rumus untuk perhitungan limit yang akan diselesaikan dalam MATLAB.

1.2 Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang akan dibahas dalam praktikum kali ini, yaitu :
1. Apa pengertian dari limit fungsi ?
2. Bagaimana menentukan limit fungsi dalam MATLAB ?
3. Bagaimana sifat-sifat dari limit fungsi ?




1.3 Tujuan
Adapun tujuan dari praktikum kali ini, yaitu :
1. Untuk mengetahui pengertian dari limit fungsi
2.Untuk mengetahui dan memahami cara menentukan limit fungsi dalam MATLAB
3. Untuk mengetahui sifat-sifat dari limit fungsi

1.4 Manfaat
Adapun manfaat dari praktikum kali ini, yaitu :
Manfaat dari praktikum ini agar pelajar atau mahasiswa mampu mengetahui limit fungsi atau fungsi fungsi matematis lainya yang ada dalam MATLAB dan dapat membantu menyelesaikan masalah-masalah perhitungan dan mengerjakan limit fungsi menggunakan aplikasi matematika yang dalam kaljian ini adalah aplikasi MATLAB.












BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA

Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.
Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) "dekat" pada L ketika x dekat pada p. Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika x juga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi, bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada p, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit (Purcell, 2005).
Definisi limit dirumuskan secara formal mulai abad ke-19. Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh Bolzano, yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik epsilon-delta. Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya.
Cauchy membahas limit dalam karyanya Cours d'analyse (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis. Presentasi yang ketat terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan oleh Weirstrass pada dasawarsa 1850-an dan 1860-an, dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit.Notasi tertulis menggunakan singkatan lim dengan anak panah diperkenalkan oleh Hardy dalam bukunya A Course of Pure Mathematics pada tahun 1908 (Hardy, 1908:96).
2.1 Limit dalam Matematika
Sifat - sifat limit fungsi, jika  dan , maka berlaku :
      
   
Rumus limit fungsi trigonometri
          
          
        
Cara menentukan limit, yaitu :
1.    Faktorkan dengan (x-a)
        
2.    Dalil L’Hospital
  
3.    Mengalikan dengan akar sekawan
(Purcell, 2005:112-114).



2.2 Limit Matematika dalam MATLAB
Selain limit yang dikenal dalam matematika,  dalam MATLAB juga terdapat limit yang lebih jelas lebih mudah digunakan untuk menyelesaikan persoalan limit matematika. Limit dalam MATLAB disebut limit command. Dasar-dasar yang digunakan dalam limit command adalah ekspresi yang ingin kita gunakan dalam matlab. Matlab akan menemukan limit dalam ekspresi seperti variabel tetap menuju nol. Sebagai contoh jika kita memasukkan fungsi f(x), Matlab akan menemukan . Contoh:

»sym x
»limit ((x^3+1)/(x^4+2))

ans=
½
Command limit merupakan komputasi limit yang nyata, untuk itu digunakan sym command untuk mendefinisikan Matlab ketika variabel symbol
Untuk mengkomputasi , limit command menggunakan syntax limit (f,a). Contoh :

»limit(x+5,3)
ans=
8

Contoh:
Diketahui f (x) = dan g(x)=x2+1. Komputasi limit x→3
Solusi:

»sym x
»f = (2^x + 1) / (x-2)
»g = x^2 + 1

Kemudian menggunakan
»F1= limit (f,3)
F1 =
7
»F2 = limit (g,3)
F2 =
10
                                                                                    (McMahon,2007:145-146).
















BAB 3. METODOLOGI

3.1 Alat
1. Alat Komputer atau laptop
2. Alat tulis
3.2 Bahan
1. Program aplikasi Matlab

















BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Hasil
            Adapun hasil yang didapatkan setelah melakukan praktikum fungsi limit dalam Matlab ini, hasilnya adalah sebagai berikut :
1. Mendefinisikan dan Untuk Limit mendekati satu
                                                (Gambar 4.1)
2. Untuk jenis Limit Tak Hingga
(Gambar 4.2)




3.  Menentukan nilai fungsi
(Gambar 4.3)
4. Menyamakan ruas kanan dan kiri
(Gambar 4.4)







5. Membulatkan angka
(Gambar 4.5)

(Gambar 4.6)


4.2 Pembahasan
          Pada praktikum kali ini kita membahas fungsi limit dalam matlab. Limit dalam matlab hanya mempunyai 1 syntax saja yaitu limit. Jika kita ingin mencari nilai limit dari suatu bilang terlebih dahulu kita mendefinisikan variable yang akan digunakan misalnya ‘x’. Terlihat pada gambar 4.1 ,kemudian kita dapat menyelesaikan soal-soal limit dalam matlab. Untuk menyelesaikan persoalan limit dalam matlb kita harus mengetahui fungsi-fungsi matlab yang akan digunakan. Untuk limit mendekati satu ataupun limit mendekati tak hingga  kita cukup mengubah nilai hampiran limit setelah variable limit yang digunakan. Sedangkan jika untuk limit mendekati tak hingga dengan mengubah nilai hampiran setelah variable x dengan inf. Pada gambar 4.1 terlihat untuk limit mendekati satu dan pada gambar 4.2 terlihat nilai limit yang mendekati tak hingga. Dalam limit matematika ada konsep kekontinuan untuk menguji apakah nilai limit itu benar atau salah. Pada konsep ini, hasil operai limit benar jika nilai limit kanan dan kiri nilainya sama. Limit dalam Matlab juga sama halnya menggunakan konsep kekontinuan untuk menguji kebenaran hasil. Simbol untuk menandai limit kanan yaitu ‘right’ dan limit kiri dengan ‘left’. Hasil dalam Matlab adalah seperti gambar 4.4. Namun sebelum itu kita harus menentukan nilai fungsi yang akan digunakan seperti yang terlihat pada gambar 4.3.
 Pada hasil limit, dipastikan tidak hanya dalam bentuk nilai yang bulat melainkan bisa juga dengan hasil angka decimal. Untuk itu kita harus membulatkan angka tersebut jika berbentuk angka decimal. Ada dua jens symbol dalam Matlab , floor dan round. Floor untuk membulatkan angka ke bawah dan round untuk membulatkan angka ke atas. Hasilnya dapat dilihat pada gambar 4.5 dan 4.6.
                       








BAB 5.PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Adapun kesimpulan dari hasil praktikum kali ini tentang fungsi limit dalam matlab adalah sebagai berikut

1.         Limit  fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu yang digunakan dalam Matlab
2.         Simbol-simbol limit matematika dalam Matlab memiliki kegunaan masing-masing tergantung jenisnya dan penerapannya harus diawali dari syntax simbol. Pada limit hanya memiliki 1 syntax saja, yaitu limit. Cara penulisannya limit(fungsi, variable, nilai hampiran)
3.         Sifat-sifat dari limit fungsi salah satunya nilai suatu fungsi ruas kanan dan kirinya harus sama. Oleh sebab itu dalam limit harus menyamakan ruas kiri dan kananya. Aplikasi limit matematika dalam Matlab dapat diterapkan dalam soal dengan memulai mendefinisikan variabel lalu memasukkan pada rumus tertentu.
5.2 Saran
Adapun saran-saran yang diberikan untuk praktikum kali ini adalah praktikan harus lebih memperhatikan penjelasan asisten agar dapat mengerti secara jelas dan cermat tentang materi yang di praktikumkan, Ketika melakukan praktikum hendaklah lebih teliti, dan tidak terburu-buru untuk menghindari kesalahan yang mungkin terjadi dan lebih lebih memperhatikan operasi-operasi atau syntax yang terdapat dalam perhitungan sehingga tau operasi mana yang harus dikerjakan oleh system berdasarkan aturan yang berlaku.
     

Gambar 5.1

Gambar 5.2
Gambar 5.3



Terlihat pada gambar 5.1 ketika praktikan melakukan praktikum kurang teliti dalam tempat pemberian tanda kurung, pada gambar 5.2 praktikan salah menggunakan tanda koma yang didalam command window seharusnya menggunakan titik. Sedangkan pada gambar 5.3 terjadi error karena kurangnya pemberian tanda kurung





























DAFTAR PUSTAKA

Pujiyanta,A.005. Komputai Numerik dengan Matlab. Cambridge: The University Press.
McMahon.2007.Matlab.United States of Amarica:The McGraw-Hill companies
Purcell and Varberg.2005.Kalkulus danGeometriAnalitisJilid 1 (edisikelima).          Jakarta :Erlangga



















LAMPIRAN
1.Tentukan nilai limit fungsi berikut:
a.      
b.     
c.      
d.     
e.      

2. Jika diketahui
Tentukan:
a.       Uji kekontinuan f(x) dengan menggunakan x=0, x= -3, x=7 dan x=7/2
b.      Uji kekontinuan f(x) dengan menggunakan x=0, x= -3, x=7 dan x=7/2
f.       Tentukan
3.   Sederhanakan dan tentukan penyelesaian dari masing-masing soal no.2
1. a.

b.
c.
d.
e.
2.
a.
b.
c.
3.